Что такое контрпример в математике?

Что такое контрпример в математике?

Начнем с такого примера. Хороню известен признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Верен аналогичный признак делимости на 9. Например. 145287 кратно 9, так как

1+ 4+ 5 + 2 + 8 + 7 = (1+ 8) + (4+5) + (2 + 7) = 27 = 3×9 кратно 9.

Справедлив ли аналогичный признак делимости на 27? Возьмем, к примеру, наименьшее число с суммой цифр 27: 999. Легко видеть, что оно кратно 27 (достаточно разделить его на 9 и получить число 111, кратное 3). Возьмем другой пример: 11…11 (27 единиц). Разделив его на 3, получим число из 9 блоков 037:

111 111 … 111 : 3 = 37 037 … 037.

Сумма цифр полученного частного равна (3 + 7) × 9 и кратна 9, значит, само частное делится на 9, а тогда исходное число из 27 единиц делится на 27.

Мы разобрали два примера, но даже если бы нашли миллион подтверждающих примеров, мы бы не доказали признак. Напротив, число 9981 показывает, что наш признак неверен: хотя

9 + 9 + 8 + 1 = 27,

но 9981 не кратно 27, так как 9981 : 9 = 112 не кратно 3.

Число 9981 опровергает неверный признак делимости на 27. Вообще, пример, который опровергает какое-то утвержде­ние, называется контрпримером. Приведем шуточную «теорему»: в математике нет терминов, в названии которых пять согласных идут подряд. Само слово «контрпример» является контрпримером к этой «теореме».

Журнал «Квант» 4-2020