Олимпиадная классика (1)

Олимпиадная классика (1)

Можно ли разменять 125 рублей при помощи 50 ку­пюр достоинством в 1, 3 и 5 рублей?

Решение. Заметим, что сумма четного числа нечетных чисел четна, а число 125 нечетное, поэтому разменять 125 рублей требуемым образом не удастся.

Ответ. Нельзя.

Вдоль забора растут 8 кустов малины. Число ягод на соседних кустах отличается на 1. Может ли на всех кустах вместе быть 225 ягод?

Решение. Число ягод на двух соседних кустах отличается на 1, поэтому на двух соседних кустах вместе нечетное чис­ло ягод. Тогда количество ягод на восьми кустах равно сумме четырех нечетных чисел, т. е. числу четному. Значит, на всех кустах вместе не может быть 225 ягод.

Ответ. Не может.

Можно ли заменить звездочки в равенстве

1 * 2 * … * 10 = 0

на знаки «+» и «-» так, чтобы равенство стало вер­ным?

Решение. Заменив все звездочки на плюсы, мы получим, что значение выражения в левой части равно 55. Начнем теперь заменять некоторые плюсы на минусы. При этом, каждый раз значение выражения будет уменьшаться на четное число, т. е. значение выражения, стоящего слева, всегда будет нечетным числом. Значит, четное число 0 мы получить не сможем.

Ответ. Нельзя.

Литература.
Агаханов Н.Х. Математика. Районные олимпиады