Сколько простых чисел существует?

Сколько простых чисел существует?

Тест на склонность к математике

Этот вопрос еще в III в. до н. э. решил греческий математик Евклид. Он гениально доказал, что их количество бесконечно. Евклид поль­зовался методом, который часто применяется в математике: он предположил противоположное тому, что хотел доказать, и рассуждал, пока не столкнулся с противоречием. Поскольку выводы его были строго логическими, его предположение оказалось неверным. Этот метод называется «доказательство от противного».

Евклид начал с предположения, что ряд простых чисел конечен. Тогда эти числа можно сосчитать, как р₁, р₂, р₃,…,р_n (n означает неопределенное множество простых чисел). Затем Евклид ввел новое число: р = р₁×р₂×р₃×…×р_n+1, перемножив эти числа и прибавив единицу.

Полученное число не будет делиться ни на одно из конечного набора простых чисел, поскольку остаток от деления на любое из них даст единицу. Но поскольку каждое число можно представить как произведение простых чисел, а р₁, р₂, … р_n — это все простые числа, какие есть, мы приходим к противоречию (т. е. полученное число р должно делиться на некое простое число, не входя­щее в этот ряд). Значит, предположение оказалось ошибочным, и простых чисел должно быть бесконечно много.

«Тех, у кого есть природная склонность к математике, это доказательство тронет до слез, те, у кого такой склонности нет, найдут его малопонятным».

Евклидово доказательство бесконечности ряда простых чисел считается математическим шедевром. Американский математик Уильям Данхэм считал его тестом на склонность к математике: «Тех, у кого есть природная склонность к математике, это доказательство тронет до слез, те, у кого такой склонности нет, найдут его малопонятным».

Литература.

В. Блум Математика. Энциклопедия

Википедия