Как находить пределы?

Как находить пределы?

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Научиться находить пределы очень важно, так как основные понятия этого раздела такие как производная, интеграл, вводятся через понятие предела функции. Отмечу, что строгие определения многим понятиям математического анализа дал француз Огюстен Луи Коши. Этот уважаемый математик снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причём одна теорема круче другой. Но в этой статье я не буду затрагивать определение предела функции по Коши. Остановлюсь только на двух аспектах: попытаюсь простым языком объяснить, что такое предел и научить тебя, дорогой читатель, находить эти самые пределы.

Выражение вида

\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+3}{2x-5}\ 

читается так: предел функции

 \frac{x+3}{2x-5}

при икс стремящемся к единице.

Разберем, что значит выражение «икс стремится к двум»?

Под этим следует следует понимать, что «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к двум и практически с совпадают с этим числом.

Поэтому, для того чтобы найти этот предел, необходимо вместо х поставить 2:

\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+3}{2x-5}=\frac{2+3}{2\cdot 2-5}=\frac{5}{-1}=-5.

Первый предел найден.

Запомните правило: когда дан предел, сначала нужно подставить число в функцию.

Рассмотрим случай, когда х стремится к плюс бесконечности. Например:

\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(2-x)

Это тот случай, когда x неограниченно возрастает, то есть: сначала х=1, потом х=10, дальше х=100, затем х=1000, и т.д. Т.е. х становится все больше и больше.

Обратите внимание, какие при этом значения принимает функция f(x)=2-x. Вначале 1, потом -8, дальше -98, затем -998.

Эти значения становятся все меньше и меньше — говорят при этом «функция стремится к минус бесконечности». Записывают

\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(2-x)=-\infty

Замечу, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

Проанализируйте и постарайтесь понять и запомнить следующие пределы:

\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}=0,\ \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}=\infty ,\ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{1}{5} \right)}^{x}}=0,\ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}=+\infty 

Продолжение следует