Олимпиадная классика (5)
По кругу записано 100 чисел, каждое из которых равно среднему арифметическому своих соседей. Докажите, что все 100 чисел равны.
Решение. Рассмотрим наибольшее из записанных чисел (или одно из них, если таких чисел несколько). Из того, что оно не меньше своих соседей и равно их среднему арифметическому, следует, что оно равно своим соседям. Проводя аналогичные рассуждения, получаем, что все числа равны.
Докажите, что у любого выпуклого многогранника есть две грани с одинаковым числом сторон.
Решение. Предположим, что нашелся выпуклый многогранник, у которого любые две грани имеют разное число сторон. Рассмотрим его грань с наибольшим числом сторон. Пусть у нее n сторон. Тогда у этой грани есть n соседних граней, причем все они различны, так как многогранник выпуклый. Но у этих граней может быть от 3 до n — 1 сторон, т. е. по принципу Дирихле из них можно выбрать две с одинаковым числом сторон. Полученное противоречие завершает доказательство.
В системе Зеленой Собаки 1001 планета. На каждой из этих планет сидит астроном и смотрит в телескоп на ближайшую планету. Докажите, что если попарные расстояния между планетами различны, то найдется планета, на которую никто не смотрит.
Решение. Рассмотрим две планеты А и В, расстояние между которыми наименьшее. Астроном на планете А смотрит на планету В, а астроном на планете В смотрит на планету А. Если астроном с какой-нибудь другой планеты смотрит на планету А или В, то найдется планета, на которую никто не смотрит. В противном случае, исключив из рассмотрения планеты А и В, получим систему из 999 планет, для которой выполняется условие задачи. Продолжая рассуждать аналогичным образом, мы придем к тому, что у нас останется три планеты. Выбрав из них две планеты, расстояние между которыми наименьшее, получим, что на оставшуюся планету никто не смотрит.
