Олимпиадная классика (3)

Олимпиадная классика (3)

Решите в целых числах уравнение 2аb + За + b = 0.

Решение. Умножив обе части уравнения на 2, преобразуем уравнение следующим образом:

4аb + 6а + 2b = 0,
2а(2b + 3)+ 2b + 3 – 3 = 0,
2а(2b + 3)+ (2b + 3) – 3 = 0,
2а(2b + 3)+ (2b + 3) = 3,  
(2а + 1)(2b + 3) = 3.

Число 3 раскладывается в произведение двух целых чисел четырьмя способами:

3 = 1×3 = 3×1 = (-1)×(-3) = (-3)×(-1).

В первом случае

2а + 1 = 1, 2b + 3 = 3, т. е. а = 0, b = 0.

Во втором случае

2а + 1 = 3, 2b + 3 = 1, т. е. а = 1, b = –1.

В третьем случае

2а + 1 = –1, 2b + 3 = –3, т. е. а = -1, b = –3.

В четвертом случае

2а + 1 = –3, 2b + 3 = –1, т. е. а = –2, b = –2.

Ответ. (0; 0), (1; –1), (–1; –3), (–2; –2).

Числа 2¹⁰⁰⁰ и 5¹⁰⁰⁰ выписаны одно за другим в десяти­чной записи. Сколько всего цифр выписано?

Решение. Пусть 2¹⁰⁰⁰ – m-значное число и 5¹⁰⁰⁰ — n-значное чис­ло. Это означает, что

10^m–1 < 2¹⁰⁰⁰ < 10^m и 10^n – 1 < 5¹⁰⁰⁰ < 10ⁿ.

Перемножив эти неравенства, мы получим

10^m+n–2 < 10¹⁰⁰⁰ < 10^m+n,

m + n – 2 < 1000 < m + n.

Отсюда следует, что искомое число цифр

т + n = 1000 + 1 = 1001.

Ответ. 1001 цифра.

Можно ли в клетках таблицы 2000 х 2000 расставить натуральные числа от 1 до 2000² так, чтобы для любой клетки этой таблицы из строки или из столбца, содержащих эту клетку, можно было бы выбрать тройку чисел, одно из которых равно произведению двух других?

Решение. Числа от 1 до 1999 могут располагаться не более чем в 1999 строках и 1999 столбцах. Значит, найдутся строка и столбец, все числа в которых не меньше 2000. Но тогда произведение любых двух чисел из такой строки (столбца) больше 2000², т.е. для клетки, расположенной на пересечении таких строки и столбца, условие задачи не выполняется.

Ответ. Нельзя.

Литература.
Агаханов Н.Х. Математика. Районные олимпиады