Загадки простых чисел (пятая серия). Постоянная Шнирельмана
Существует такое целое число С, что любое натуральное число есть сумма не более С простых чисел
Т 1930 г. Лев Шнирельман сумел заполнить этот пробел при помощи замысловатого варианта их собственных рассуждений, основанных на методах решета. Он доказал, что ненулевая доля всех чисел может быть представлена в виде суммы двух простых. Добавив к этому результату некоторые общие рассуждения о сложении последовательностей, он доказал, что существует такое целое число С, что любое натуральное число есть сумма не более С простых чисел. Это число получило известность как постоянная Шнирельмана. Т 1937 г. аналогичные результаты получил Иван Виноградов, но его метод также не позволял сказать конкретно, насколько велики «достаточно большие» числа. Т 1939 г. Константин Бороздин доказал, что они начинаются не позже чем с числа 314348907. К2002 г. Лю Минчит и Ван Тяньцзэ снизили границу «достаточно больших чисел» до е3100, что равняется примерно 2х101346. Это число гораздо меньше, но все же слишком велико для того, чтобы все нижележащие числа можно было проверить перебором на компьютере.
Каждое нечетное число, за исключением 1, 3 и 5, является суммой трех простых чисел
Т 1969 г. Николай Климов сумел установить, что постоянная Шнирельмана не превышает 6 млрд. Другим математикам удалось сделать более точную оценку, и в 1982 г. Ханс Ризель и Роберт Воган снизили эту цифру до 19. Хотя 19, разумеется, многим лучше 6 млрд, все признаки указывают на то, что на самом деле постоянная Шнирельмана равняется всего лишь 3. Т 1995 г. Лешек Каницкий снизил верхний предел до 6в общем случае и до 5 для нечетных чисел, но ему тоже пришлось предположить истинность гипотезы Римана. Его результаты вместе с численной проверкой гипотезы Римана вплоть до 4х 1014, которую осуществил Йорг Рихштейн, доказали бы, что постоянная Шнирельмана не превосходит 4, но опять же при условии истинности гипотезы Римана. В 1997 г. Жан-Марк Дезуйе, Гоув Эффингер, Херман те Риле и Дмитрий Зиновьев показали, что из обобщенной гипотезы Римана следует тернарная гипотеза Гольдбаха. Иными словами, каждое нечетное число, за исключением 1, 3 и 5, является суммой трех простых чисел.
Поскольку на данный момент гипотеза Римана не доказана, имеет смысл постараться снять это условие. В 1995 г. французский математик Оливье Рамаре снизил верхнюю оценку для представления нечетных чисел до 7 без использования гипотезы Римана. Более того, он доказал более сильное утверждение: каждое четное число является суммой не более чем шести простых чисел. (Чтобы разобраться с нечетными числами, вычтем из любого нечетного 3: результат четный, поэтому он является суммой шести или менее простых. Первоначально взятое нечетное есть эта сумма плюс простое число 3, т. е. для его получения требуется не более семи простых.)
Главным прорывом стало уточнение существующих оценок для некоторой части чисел определенного диапазона до двух: эти числа являются суммой двух простых. Ключевой результат Рамаре состоит в том, что для любого числа n больше e67 (это примерно 1,25 х 1029) по крайней мере пятая часть чисел, лежащих между n и 2n, является суммой двух простых. Далее при помощи методов решета и теоремы Ганса-Генриха Остманна о суммах последовательностей, доработанной Дезуйе, можно доказать, что каждое четное число, большее 1030, есть сумма максимум шести простых чисел.
Остается разобраться лишь с промежутком между 4х1014, до которого Йорг Рихштейн проверил теорему численно при помощи компьютера, и 1030. Как часто бывает, эти числа слишком велики для непосредственной компьютерной проверки, поэтому Рамаре доказал целую серию специализированных теорем о количестве простых чисел в небольших интервалах.
Эти теоремы опираются на истинность гипотезы Римана в определенных пределах, что можно проверить при помощи компьютера. Так что доказательство состоит преимущественно из концептуальных теоретических рассуждений с привлечением компьютера для решения этой узкой задачи. Рамаре закончил свою статью указанием на то, что при помощи аналогичного подхода в принципе можно было бы снизить число простых с 7 до 5. Однако на этом пути возникают очень серьезные практические препятствия, и он написал, что такое доказательство «невозможно провести при помощи современных компьютеров».
Каждое нечетное число можно представить в виде суммы не более чем 5 простых чисел
В 2012 г. Теренс Тао преодолел эти препятствия, используя в корне другой подход. Основу работы составляет следующая теорема: каждое нечетное число можно представить в виде суммы не более чем 5 простых чисел. Это снижает постоянную Шнирельмана до 6. Тао получил известность благодаря своей способности решать сложные проблемы в самых разных областях математики. Его доказательство использует для решения проблемы несколько мощных методик и требует привлечения компьютеров. Если число 5 в теореме Тао удалось бы снизить до 3, то тернарная гипотеза Гольдбаха была бы доказана, а верхняя граница для постоянной Шнирельмана снижена до 4. Тао подозревает, что сделать это возможно, но нужны новые идеи.
Бинарная гипотеза Гольдбаха представляется еще сложнее. В 1998 г. Дезуйе, Саутер и те Риле проверили ее для всех четных чисел вплоть до 1014. К 2007 г. Томаш Оливейра-и-Сильва улучшил этот результат до 1018 и продолжает расчеты. Мы знаем, что каждое четное целое число можно представить в виде суммы не более чем шести простых чисел — это доказал Рамаре в 1995 г. В 1973 г. Чэнь Цзинжунь доказал, что каждое достаточно большое четное целое может быть представлено в виде суммы простого и полупростото (это либо простое число, либо произведение двух простых) чисел. Близко, но не то. Тао заявил, что бинарную гипотезу Гольдбаха невозможно доказать при помощи его методов. Сложение трех простых чисел дает гораздо большее перекрытие результатов, чем сложение двух простых, фигурирующих в бинарной гипотезе Гольдбаха, а методы и Тао, и Рамаре неоднократно используют это свойство.
Тернарная гипотеза Гольдбаха была окончательно доказана перуанским математиком Харальдом Хельфготтом. Но бинарная гипотеза Гольдбаха, вероятно, будет по-прежнему ставить математиков в тупик.
Чего мы по-прежнему не знаем
За 2300 лет, прошедших с момента, когда Евклид доказал несколько базовых теорем о простых числах, мы узнали о них немало. Однако остается еще очень много того, чего мы по-прежнему не знаем.
Последовательность простых чисел содержит арифметические прогрессии произвольной длины
К примеру, мы знаем, что существует бесконечно много простых чисел вида 4k + 1 и 4k + 3. В более общем виде это утверждение выглядит так: любая арифметическая прогрессия аk + b с постоянными параметрами а и b содержит бесконечно много простых чисел, если а и b не имеют общих делителей. К примеру, пусть а = 18. Тогда b = 1,5,7,11,13 или 17. Следовательно, существует бесконечно много простых чисел видов 18k + 1, 18k + 5, 18k + 7, 18k + 11, 18k + 13 или 18k + 17. Но это неверно для 18k + 6, например, потому что 18 кратно 6. Ни одна арифметическая прогрессия не может состоять только из простых чисел, но недавний серьезный прорыв — теорема Грина-Тао — показывает, что последовательность простых чисел содержит арифметические прогрессии произвольной длины. Т 2004 г. Бен Грин и Теренс Тао разработали очень глубокое и сложное доказательство этого утверждения, что внушает надежду: на самые сложные вопросы, какими бы неприступными они ни выглядели, в конце концов может быть получен ответ.
Задаемся вопросом о более сложных формулах с k. Не существует простых чисел вида k2; не существует и простых вида k2 – 1, за исключением 3 (k = 2), поскольку подобные выражения раскладываются на множители. Однако выражение k2 + 1не имеет очевидных делителей, и простых чисел такого вида можно найти множество:
2 = 12 + 1, 5 = 22 + 1, 17 = 42 + 1, 37 = 62 + 1 и т. д.
Можно привести пример и с большими цифрами, хотя особого смысла в этом нет:
18672907718657 = (4321 216)2 + 1.
Предполагается, что таких простых чисел тоже бесконечно много, но до сих пор не доказано ни одного подобного утверждения ни для одного конкретного многочлена, в котором k стояло бы в степени выше единицы. Очень правдоподобное предположение сделал в 1857 г. Виктор Буняковский: любой многочлен от k, не имеющий очевидных делителей, представляет бесконечное множество простых чисел. Исключение составляют не только разложимые многочлены, но и такие многочлены, как k2 + k + 2(этот многочлен всегда делится на 2, хотя и не имеет алгебраических делителей).
Некоторые многочлены, судя по всему, обладают особыми свойствами. Классический пример: k2 + k + 41. Этот простое число, если k = 0, 1, 2,…, 40 и, строго говоря, если k = –1, –2,…, –40 тоже. Длинные цепочки простых чисел при последовательных значениях k попадаются редко, и о них мы кое-что знаем. Но в целом вся эта область весьма загадочна.
Гипотеза о парах простых чисел почти так же знаменита, как гипотеза Гольдбаха, и, судя по всему, столь же неприступна.
Вот ее суть: существует бесконечно много пар простых чисел с разницей в 2. Приведем несколько примеров:
3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19.
На сегодняшний день (на июль 2020 г.) наибольшими известными парными простыми являются числа 2996863034895х21290000± 1, содержащие по 388342 десятичных знаков. Они были найдены в рамках проекта распределенных вычислений PrimeGrid.
В 1915 г. Вигго Врун при помощи одного из вариантов решета Эратосфена доказал, что сумма чисел, обратных всем парным простым, сходится, в отличие от суммы чисел, обратных всем простым. В этом смысле парные простые встречаются относительно редко. При помощи аналогичных методов он доказал также, что существует бесконечно много целых n, таких, что n и n + 2имеют не больше девяти простых делителей. Харди и Литлвуд при помощи своих эвристических методов пришли к выводу, что количество пар простых, меньших х, асимптотически приближается к
где а — константа, равная приблизительно 0,660161. Идея в том, что в данном случае можно считать простые числа возникающими случайно с частотой, которая делает общее число простых вплоть до х приблизительно равным x/log х. Аналогичных гипотез и эвристических формул существует множество, но строгих доказательств для них опять же не существует.
Да, в математике есть сотни открытых вопросов, имеющих отношение к простым числам. Одни из них просто любопытны, другие глубоки и имеют большую важность. Несмотря на все успехи математики за последние 2500 лет, скромные простые числа не потеряли ни своей притягательности, ни загадочности.
(конец)
Литература
Иэн Стюард «Величайшие математические задачи».
Материалы Википедии.